Како да се изгради фрактал Многу Аполо: 10 чекори

Многу Аполо е тип на фрактал, кој е изграден преку постојано намалување во дијаметарот на круговите во еден голем круг. Секој круг во збир на Аполо е "тангента" на соседните кругови, со други зборови, круговите во збирот на Аполо доаѓаат во контакт само во бескрајно ниска точка. Тој е именуван во чест на грчката математика Аполонија Перга. Овој тип на фрактален умерен степен на сложеност може да се гради на компјутер или рачно, создава убава и светла слика. Погледнете го чекор 1 подолу за да започнете.

Чекори

Дел 1 од 2:

Дознајте за основните концепти

Ако сте едноставно заинтересирани за изградба на сет на Аполо, не е неопходно да се спроведат математички студии на фрактал. Меѓутоа, ако сакате да го разберете овој фрактал подлабоко, важно е да ги знаете дефинициите за голем број концепти кои ќе се користат во дискусијата за оваа тема.

Еден. Одреди клучни услови. Следниве термини се користат во упатствата подолу:

Многу Аполо: Едно од неколкуте имиња на фракталниот тип, кој се состои од група кругови лоцирани во голем круг и во врска со сите соседни. Исто така се нарекува Soddy кругови или "бакнување кругови".
Радиус на кругот: Растојание од центарот на обемот до точка што лежи на кругот. Обично означува променливата "r".
Кривизација на кругот: позитивен или негативен обратен радиус вредност, или ± 1 / r. Закривеноста е позитивна за надворешноста на обемот и негативна - за внатрешната.
Танер: Терминот се однесува на линии, авиони и бројки кои се пресекуваат во една бескрајно ниска точка. Во мноштво Аполо, се однесува на фактот дека секој круг се однесува на соседните само во еден момент. Ве молиме имајте предвид дека пресекот недостасува - тангентите бројки не се преклопуваат.

Сликата со наслов Креирај аполонски заптивка Чекор 2

2. Внимавајте на теорема на дела.Деванисот теорема е формула која се користи при пребројување на големини на кругови во сет на Аполо. Ако ја дефинираме кривината (1 / r) од сите три кругови како A, Б, и В Соодветно на тоа, теорема се наведува дека кривината на кругот (или кругови), која е тангента на сите три кругови назначени Д,Една е еднакво: D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A).

За нашите цели, ние само ќе го искористиме одговорот што го добивме, ставајќи Плус знак пред квадратен корен (со други зборови, ... +2 (√ (...)). Во моментов, доволно е да се знае дека методот на одземање во равенката се користи во други поврзани задачи.

Дел 2 од 2:

Изградба на сет на Аполо

Многу Аполо го зема обликот на прекрасен фрактален дизајн од намалување на големината на круговите. Математички, многу Аполо е бескрајно комплицирано, но дали користите компјутерска програма или традиционални алатки за цртање, ќе завршите со постигнување на тој момент кога е невозможно да се нацрта помал круг. Забележете дека попрецизно ќе нацртате круг, толку повеќе ќе одговараат на повеќе Аполо.

Еден. Собери дигитални и аналогни алатки за цртање. Во чекорите подолу ќе ги изградиме нашите едноставни многу Аполо. Можете да изградите разновидност или користење на компјутер. Во секој случај, треба да извлечете совршено мазни кругови. Ова е доста важно. Бидејќи секој круг во фрактал мора совршено да се вклопи со соседните кругови, секој дури и малку деформираниот круг може да го расипе вашиот крајниот резултат.

Ако изградите многу на вашиот компјутер, ќе ви треба програма која ви овозможува лесно да го нацртате кругот на фиксен радиус. GFIG - Векторска графика продолжување за слободен софтвер за уредување на слики. Може да се користи во широк спектар на други графички програми. Можеби ќе ви треба калкулатор и уредувач на текст или редовен тетратка за радиусни и заоблени белешки.
За да нацртате сет рачно, ќе ви треба калкулатор (пожелно научен или графички), молив, циркул, линија (по можност со милиметарска ознака), милиметарска хартија и белешки за белешки.

Сликата со наслов Креирај аполонски заптивка Чекор 4

2. Започнете со еден голем круг. Вашата прва задача е едноставно да извлечете еден голем, совршено мазен круг. Колку е поголем кругот, толку потешко може да биде вашиот фрактал, па обидете се да изградите таков круг, кој големината на хартијата дозволува, или така што може целосно да се види на екранот во графичката програма.

Сликата со наслов Креирај Аполонски заптивка Чекор 5

3. Нацртајте помал круг во првиот круг што ќе го допре во еден момент. Значи, нацртајте круг во нашиот прв круг, тоа ќе биде помалку од главната, но сепак доста големи. Точната големина на вториот круг зависи од вас, бидејќи нема поставена големина. Сепак, ајде да извлечеме втор круг, така што тоа го зазема половина од главниот круг. Со други зборови, нејзиниот центар е средината на поголемиот кружен радиус.

Запомнете дека во збир на Аполо, сите кругови се тангентни едни на други. Ако користите циркулација при градење на кругови, пресоздадете го овој ефект со ставање на остриот крај на циркулацијата во средината на радиусот на главниот круг, и прилагодување на кружниот молив на таков начин што едноставно сее на работ на кругот, а потоа нацртајте помал внатрешен круг.

Сликата со наслов Креирај аполонски заптивка чекор 6

Четири. Нацртајте идентичен круг до помал внатрешен круг. Па ајде да нацртаме друг обем до првиот. Обемот треба да биде тангента на двете кругови: надворешна поголема и внатрешна помала, што значи дека и внатрешните кругови доаѓаат во контакт точно во центарот на големите.

Сликата со наслов Креирај аполонски заптивка чекор 7

Пет. Аплицирајте теорема на дела за пресметување на димензиите на следните кругови. За момент, престанете да сликате. Сега, кога имаме три обем во фрактал, можеме да го користиме теоремата Деборди за да го пронајдеме радиусот на следниот круг што ќе го привлечеме. Запомни Descarte теорема равенка D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A), каде A, B, и C се кривината на три тангентни кругови и D - кривината на обемот на тангента на сите три. Затоа, за да го пронајдете радиусот на нашиот следен круг, ајде да ја пресметаме искривувањето на секоја од обемот што ја имаме, додека не ја пронајдете искривувањето на следниот круг, а потоа да го пресметате радиусот.

Ајде да го одредиме радиусот на надворешниот обем како Еден. Како што другите кругови се во него, ние се занимаваме со "внатрешната" кривина (наместо надворешни), и затоа знаеме дека е негативно. - 1 / r = -1/1 = -1. Значи искривување на големиот круг е еднаква -Еден.

Радиусот на помали кругови е половина од радиусот е голем, односно 1/2. Бидејќи овие кругови доаѓаат во контакт едни со други и главниот круг од надворешни страни, ние се занимаваме со надворешна закривеност, позитивна. 1 / (1/2) = 2. Затоа, кривината на помалите кругови е еднаква 2.

Сега знаеме дека a = -1, b = 2, и c = 2 во нашата равенка на теорема на дела. Да го пресметаме D:

D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A)

d = -1 + 2 + 2 ± 2 (√ (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))

D = -1 + 2 + 2 ± 2 (√ (-2 + 4 + -2))

d = -1 + 2 + 2 ± 0

d = -1 + 2 + 2

D = 3. Круктурата на следниот обем 3. Од 3 = 1 / r, радиусот на овој круг ќе биде еднаков 1/3.

Сликата со наслов Креирај Apollonian Gasket чекор 8

6. Нацртајте ги следните неколку кругови. За да ги извлечете следните два круга, користете ги вредностите на радиусот што го пронајдовте. Не заборавајте дека овие периферии се тангента на оние чија кривина се користела при броењето на теорема на дела. Со други зборови, тие ќе се однесуваат и главните и секундарните кругови. Така што овие кругови се однесуваат на тројца други, треба да ги привлечете во слободна област на врвот и на дното во главниот круг.

Запомнете дека радиусот на овие кругови е 1/3. Стискаш 1/3 од работ на надворешниот круг, а потоа нацртај нов. Мора да биде тангента на сите три блиски кругови.

Сликата со наслов Креирај аполонски заптивка чекор 9

7. Така, продолжи да додава круг. Бидејќи тие се фрактали, многу Аполо е бескрајно сложена. Ова значи дека можете да додадете обем на зголемен и помал фрактален-базиран. Дали сте ограничени само на точноста на вашите алатки (или ако користите компјутер, способноста на графичка програма за зумирање). Секој круг, без оглед на тоа, треба да биде тангенти на три други. За да го нацрта секој последователен круг, користете ги закривните вредности на три тангенти до тоа кругови за теорема на дела. Потоа со помош на одговорот точно нацрта нов круг.

Ве молиме имајте предвид дека собата што го избравме за изградба е симетрично, па радиусот на еден круг е ист како радиусот на обемот е идентичен. Сепак, не сите сетови на Аполо симетричен.

Ајде да направиме друг пример. Да претпоставиме по изградбата на последните неколку кругови, ние ќе сакаме да нацртаме круг тангента на нашиот трет пар и главниот круг. Закривеноста на овие кругови е 3, 2 и -1, соодветно. Сега ги вклучуваме овие броеви во теорема Decarte, поставувајќи го тоа A = -1, B = 2 и C = 3:

D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A)

D = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (-2 + 6 + -3))

D = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (1))

d = 2, 6. Имаме два одговори! Сепак, знаеме дека нашиот нов круг ќе биде помал од тангентите кон него, тоа значи дека ќе има смисла само ќе биде важноста на кривината 6 (и радиус 1/6).

Друг одговор, 2, всушност се однесува на хипотетички круг на "другата страна" на точката на тангента на вториот и третиот круг. Овој круг е тангент на овие кругови и на главниот, но тоа ќе го премине обемот што го имаме веќе нацртано, за да можете да го игнорирате овој одговор.

Сликата со наслов Креирај Apollonian Gasket чекор 10

осум. Како тест, обидете се да изградите асиметрични многу Аполо, менувајќи ја големината на вториот круг. Сите групи на Аполо почнат да градат од истата - со голем надворешен круг, кој е границата на фракталот. Сепак, не е неопходно радиусот на вториот круг прво да биде 1/2. Ние само одлучивме да ги земеме овие броеви за едноставност и леснотија во разбирањето. За задоволство, обидете се да изградите нов сет со втор круг на друга големина - ова ќе доведе до нови насоки во студијата.

Откако ќе изгради втор круг (без оглед на нејзината големина), вашата следна акција треба да биде изградбата на еден (или повеќе) обем, кој е тангента и на вториот, и на главните надворешни кругови - не постои само вистински начин за изградба тоа. После тоа, можете да ја користите теорема на дела за да го одредите радиусот на последователните кругови, како што е прикажано погоре.