Како да се утврди дали бесконечен ред конвергира: 4 чекори

Бескрајните нумерички редови често доведуваат до конфузија и плашиш, бидејќи тие се доста тешко да се замисли ментално. На прв поглед е тешко да се каже, број конвергира или не, пред неколку века, одговорот на такво прашање ќе потрае многу часови. Сепак, во наше време, благодарение на напорите на многу извонредни математичари, имаме сет на едноставни техники, лесно овозможувајќи да ја решиме задачата. Овие техники се наменети да добијат одговор на прашањето, број конвергира или не, а не да ја најдат својата сума. За да ги разберете, исто така треба да ги поседувате основите на компјутерите.

Чекори

Еден. Спроведување на прелиминарна проверка. Постои едноставна теорема која наведува дека ако бесконечната сума на функцијата f конвергира, границата на функцијата f е 0. Така, ако ја имаме функцијата x ^ 2, тогаш нема ограничување, а нејзината сума не се согласува со бесконечност, од друга страна, границата на функцијата 1 / x е 0, така што нејзиниот износ може да се споредат. Ако лимитот не е еднаков на нула, знаеме дека редот се разликува. Внимание: спротивното не е точно, односно фактот дека границата е нула, не значи дека бројот мора да се конвергира. Во овој случај, потребно е дополнителна верификација.

Сликата со наслов Одреди дали бесконечна серија конвергира Чекор 2

2. Геометриски редови. За овие редови, постои многу едноставно правило, па прво од сите утврди дали вашиот ред е геометриски. Геометриската серија е редоследот на броеви, од кои секој член може да биде претставен како R ^ K, каде што K е променлива, а R е број во опсегот помеѓу -1 и 1. Геометриските редови секогаш се согласуваат. Покрај тоа, можете лесно да го одредите износот на таков ред, што е еднакво на 1 / (1-R).

Сликата напишано напишете Божиќна игра Чекор 4

3. Генерализирани хармониски редови, или дирихлет. Таков број се нарекува збир на функциите на образецот 1 / (x ^ p), каде што X е секој број. Теоремата за овие серии наведува дека ако P е поголема од единицата, серијата конвергира, ако P е помала или еднаква на еден, редот се разликува. Ова значи дека горенаведената серија 1 / x е растурена, бидејќи може да биде претставена како 1 / (x ^ 1), каде што p = 1. Оваа серија се нарекува хармоничен. Број 1 / (x ^ 2) конвергира, како уште 2 1.

Четири. Други редови. Ако бројот не припаѓа на еден од видовите наведени погоре, нанесете ги методите подолу до него подолу. Ако еден метод не помогна, нанесете го следново, бидејќи не е секогаш јасно кое треба да го избере. Иако не постојат недвосмислени правила, со текот на времето можете подобро да се движите во изборот на посакуваниот метод.

Споредба на методот. Да претпоставиме дека имате два реда кои се состојат од позитивни членови, а (n) и b (n). Потоа: 1) Ако бесконечната сума b (n) converges, и (n) е помала од b (n) (за било доволно големо n), тогаш сумата А (n) исто така е конвергенција, 2) ако Б ( n) отфрлање и а (n)> b (n), а потоа (n), исто така, се разликува. На пример, имате серија 2 / x- можеме да го споредиме со близу 1/ x. Бидејќи веќе знаеме дека серијата 1 / X е различена и 2 / x> 1 / x, следи дека број 2 / x исто така се растурат. Така, идејата за методот е да се утврди дали серијата е конвергирана или не, користејќи ја веќе познатата серија. Сликата со наслов Одреди дали бесконечна серија converges чекор 4bullet1

Сликата со наслов Одреди дали бесконечна серија converges чекор 4bullet1

Метод на ограничувања за споредба. Ако A (N) и B (N) се редови на позитивни броеви, и ако има ограничување A (N) / B (N), што е поголемо од 0, тогаш двата редови или се спојуваат или се разминуваат. Во овој случај, серијата во студија, исто така, се споредува со познатиот метод, методот е да се избере позната серија, максималниот степен на кој одговара на степенот на серијата во студијата. На пример, ако сметате дека серија 1 / (x ^ 3 + 2x + 1), има смисла да се спореди со близу 1 / (x ^ 3). Сликата со наслов Одреди дали бесконечна серија converges чекор 4bullet2

Сликата со наслов Одреди дали бесконечна серија converges чекор 4bullet2

Проверете интеграл. Ако функцијата е поголема од нула, континуирано и се намалува на x вредности повеќе од или еднаква на 1, тогаш бесконечната серија f (n) се конвергира ако постои одреден составен од 1 до бесконечност од функцијата f (x) и има Конечното значење - инаку редот е различен. Така, доволно е да се интегрира функцијата и да се најде граница за x, барајќи бесконечност: ако лимитот е конечен, серијата конвергира, ако лимитот е еднаков на бесконечност, редот се разликува. Сликата со наслов Одреди дали бесконечна серија конвергира чекор 4bullet3

Сликата со наслов Одреди дали бесконечна серија конвергира чекор 4bullet3

Потпишени редови. Ако (k)> a (k + 1)> 0 во доволно голем К, и лимитот A (N) е 0, потоа алтернативната серија (-1) ^ N (N) конвергира. Едноставно кажано, да речеме дека вашиот ред е значаен (што е, нејзините членови се наизменично позитивни и негативни) - во овој случај, го фрлаат алтернативниот дел од функцијата и го наоѓаат границата на она што останува - ако лимитот е конечен, Серијата конвергира.

Метод на врска. Ако е дадена бесконечна серија A (N), најдете го следниот член на редот A (N + 1). Потоа пресметајте го односот на подоцнежниот член на претходниот A (N + 1) / A (N), доколку е потребно, земајќи ја апсолутната вредност. Пронајдете го ограничувањето на овој однос кога n се стреми кон бесконечност, ако постои оваа граница и е конечна, ова значи: 1) ако лимитот е помал од еден, серијата конвергира - 2) ако лимитот е поголем од единицата, Редот е одделен од страна на еден) ако лимитот е еднаков на еден, овој метод недоволен (број може да се конвергира и да се растера).

Ова се главните методи за утврдување на конвергенција на редови, и тие се исклучително корисни. Ако никој од нив не помогна, веројатно е дека задачата нема решение, или сте направиле грешка некаде. Овие методи исто така може да се користат за други редови, како што се моќни редови, тејлор редови и т.Д. Поседувањето на овие методи е тешко да се прецени, бидејќи другите едноставни начини за одредување на конвергенцијата на број не постои.

Совети

Секогаш наоѓајте го ограничувањето и проверете дали вашата серија не важи за геометриски или генерализирани хармониски редови пред да го користите методот за споредба. Ова ќе ви овозможи да заштедите многу време и напор.

Предупредувања

Не обидувајте се да ја решите некоја задача со помош на калкулатор.