Како да се реши рекурентна равенка

Пред да најде формула за некоја математичка секвенца, неопходно е да се најде член на оваа секвенца, изразена преку претходниот член на секвенцата (а не како функција од N). На пример, би било убаво да се знае функцијата за N-TH член на Fibonacci секвенца, но често имате само повторлива равенка која го поврзува секој член на фибоначи секвенца со два претходни членови. Оваа статија ќе ви каже како да ја решите повторната равенка.

Чекори

Метод 1 од 5:

Аритметичка прогресија

Еден. Размислете за секвенцата 5, 8, 11, 14, 17, 20, ....

Сликата со наслов Решавање на ремени за повторување Чекор 2

2. Секој член на оваа секвенца е поголем од претходниот член од 3, така што може да се изрази со повторлива равенка прикажана на сликата.

Сликата под наслов Решавање на ремени од чекор 3

3. Рекурентна равенка од тип А_Н = А_N-1 + D е аритметичка прогресија.

Сликата со наслов Решавање на ремени за повторување Чекор 4

Четири. Снимете ја формулата за пресметување на n-тиот член на аритметичката прогресија, како што е прикажано на сликата.

Сликата под наслов Решавање на ремени за повторување Чекор 5

Пет. Ја поднесува вредноста во формулата на оваа секвенца. Во нашиот пример 5 - ова е 0-тиот член на секвенцата. Тогаш формулата има изглед_Н = 5 + 3n. Ако 5 е 1-ви член на секвенцата, тогаш формулата има форма a_Н = 2 + 3n.

Метод 2 од 5:

Геометриска прогресија

Еден. Размислете за секвенцата 3, 6, 12, 24, 48, ....

Сликата под наслов Решавање на ремени од чекор 7

2. Секој член на оваа секвенца е поголем од претходниот член 2 пати, така што може да се изрази со повторлива равенка прикажана на сликата.

Сликата под наслов Решавање на ремени од чекор 8

3. Рекурентна равенка од тип А_Н = R * a_N-1 е геометриска прогресија.

Четири. Снимете ја формулата за пресметување на n-тиот член на геометриската прогресија, како што е прикажано на сликата.

Сликата под наслов Решавање на рециклирање на ремени 10

Пет. Ја поднесува вредноста во формулата на оваа секвенца. Во нашиот пример 3 - ова е 0-тиот член на секвенцата. Тогаш формулата има изглед_Н = 3 * 2. Ако 3 е 1-ви член на секвенцата, тогаш формулата има изглед_Н = 3 * 2.

Метод 3 од 5:

Полиномилен

Еден. Размислете за секвенца 5, 0, -8, -17, -25, -30, ..., дадени со рекурентна равенка прикажана на сликата.

Сликата со наслов Решавање на ремени за повторување

2. Секоја рекурентна равенка на видовите прикажани на Слика (каде P (N) е полибана од N), има полином, чиј индикатор е 1 поголем од индикаторот.

Сликата под наслов Решавање на ремени од повторување

3. Напишете полином на соодветниот редослед. Во нашиот пример, P има втор ред, па затоа е неопходно да се напише кубен полином за да се претстави секвенца a_Н.

Сликата под наслов Решавање на рециклирање пренасочување Чекор 14

Четири. Од четири непознати коефициенти во кубни полином, напишете систем од четири равенки. Сите четири се соодветни, па сметајте дека 0 ох, 1-ви, 2-ри, 3 членови. Ако сакате, размислете за -1-ти член на повторната равенка за да го поедностави процесот на одлучување (но тоа не е потребно).

Сликата со наслов Решавање на ремени од почеток 15

Пет. Одлучете го добиениот систем за степенот (P) +2 равенки за степенот (p) = 2 непознати како што е прикажано на сликата.

Сликата под наслов Решавање на ремени за повторување

6. Ако - Ова е еден од членовите за кои сте навикнати за пресметување на коефициентите, тогаш брзо ќе најдете постојан член на полиномот и можете да го поедноставите системот до степен (P) +1 равенки за степенот (p) +1 непознати како прикажано на сликата.

7. Одлучете го системот на линеарни равенки и добијте c₃ = 1/3, в₂ = -5/2, в_Еден = -17/6, в = 5. Запишете ја формулата за_Н во форма на полином со познати коефициенти.

Метод 4 од 5:

Линеарни рекурентни равенки

Еден. Ова е еден од методите за решавање на FIBONACCI. Сепак, овој метод може да се користи за решавање на какви било повторливи равенки во кои N-B е линеарна комбинација на претходните членови на К. Размислете за секвенца 1, 4, 13, 46, 157, ....

Сликата со наслов Решавање на ремени од ремени 19

2. Напишете го карактеристичниот полином на рекурентната равенка. За да го направите ова, заменете го_ННа x и подели на ATX- ќе добиете полиномен степен K и постојан член, освен нула.

Сликата со наслов Решавање на рециклирање на ремени 20

3. Одлучи на карактеристичниот полином. Во нашиот пример, тој има диплома 2, па користете ја формулата за наоѓање на корените на квадратната равенка.

Сликата со наслов Решавање на рециклирање на ремени 21

Четири. Секој израз на изгледот прикажан на сликата ја задоволува повторната равенка. В_I- Овие се какви било константи, а темелите на степенот се корените на карактеристичниот полином (решен погоре).

Ако карактеристичниот полином има неколку корени, тогаш треба да го направите следново. Ако r е коренот на множинство m, наместо_ЕденR) Користете (в_ЕденR + C₂NR + C₃nr + ... + В_Мnr). На пример, размислете за секвенцата 5, 0, -4, 16, 144, 640, 2240, ..., задоволувачка рекурентна равенка a_Н = 6а_N-1 - 12а_N-2 + 8а_N-3. Карактеристичниот полином има три корени, а формулата е напишана како: А_Н = 5 * 2 - 7 * n * 2 + 2 * n * 2.

Сликата под наслов Решавање на ремени за повторување 22

Пет. Најдете постојан C_I, Задоволување на почетните услови. За овој рекорден систем на равенки со почетните услови. Бидејќи во нашиот пример на непознато, запишете го системот на две равенки. Секое две се соодветни, па размислете за 0-ти и 1-ви членови за да се избегне изградбата на ирационален број во поголем степен.

Сликата со наслов Решавање на ремени за повторување Чекор 23

6. Решавање на добиениот систем на равенки.

Сликата со наслов Решавање на рециклирање на ремени 24

7. Најде постојан подлога во формулата.

Метод 5 од 5:

Вршење функции

Еден. Размислете за секвенцата 2, 5, 14, 41, 122 ..., дадени со рекурентна равенка прикажана на сликата. Не може да се реши со користење на било кој од методите опишани погоре, но формулата е преку производство на функции.

Сликата со наслов Решавање на ремени од ремени 26

2. Напишете функција за производство на секвенци. Функцијата за производство е формален моќен ред, каде што коефициентот на X е N-ти член на секвенцата.

Сликата со наслов Решавање на ремени за повторување 27

3. Конвертирајте ја продуктивната функција како што е прикажано на сликата. Целта на овој чекор е да ја пронајдете равенката што ќе ви овозможи да ја решите производната функција a (x). Отстранете го првичниот член. Примени ја повторната равенка за останатите членови. Подели износот. Отстрани постојани членови. Користете дефиниција a (x). Користете ја формулата за пресметување на износот на геометриска прогресија.

Сликата со наслов Решавање на ремени за повторување 28

Четири. Најдете го производот a (x).

Сликата со наслов Решавање на ремени за повторување 29

Пет. Пронајдете го коефициентот кога x во (x). Методите за изнаоѓање на коефициентот зависат од видот на функцијата (x), но сликата го покажува методот на елементарни фракции во комбинација со генерираната функција на геометриската прогресија.

6. Запишете ја формулата за_Н, За да го пронајдете коефициентот на x во (x).

Совети

Индуктивниот метод е исто така многу популарен. Често е лесно да се докаже (со користење на индуктивниот метод) дека некоја формула задоволува некоја рекурентна равенка, но проблемот е што е неопходно да се погоди формулата однапред.
Некои од опишаните методи бараат голема количина на компјутери, што може да повлече грешки. Затоа, проверете ја формулата за неколку добро познати услови.