Как делить логарифмы: 11 шагов (с иллюстрациями)

Акциите со логаритми може да изгледаат прилично комплицирани, но, како и со моќни карактеристики или полиноми, неопходно е само да се знаат основните правила. Тие се доста многу: да се поделат логаритми со истата база или да се распаѓаат логаритам на приватни, доволно е да се користат неколку главни својства на логаритмите.

Чекори

Метод 1 од 2:

Како да делите логаритми рачно

Еден. Проверете дали нема негативни броеви или единица под знак на логаритам. Овој метод е применлив за изразите на формуларот

Пријавете се внатре (од) Пријавете се внатре (Но,)

${ Frac { log _ {{b}} (x)} { log _ {{b}} (a)}}$ . Сепак, тоа не е погодно за некои посебни прилики:

Логаритам на негативен број не е дефиниран во било која база (на пример, $Пријавете се (- 3)$ или $Пријавете се Четири (- Пет)$ $log _ {{4}} (- 5)$ ). Во овој случај пишува "Нема одлука".
Логаритам нула по било која причина исто така не е дефинирана. Ако сте фатени $Ln (0)$ , Напиши "Нема одлука".
Логаритам единици за било која причина ( $Пријавете се (Еден)$ ) секогаш еднаква на нула, бидејќи $од 0 = Еден$ $x ^ {{0}} = 1$ За сите вредности од. Запишете го наместо таков логаритам 1 и не го користите методот подолу.
Ако логаритмите имаат различни основи, на пример $Што за Г 3 (од) Што за Г Четири (Но,)$ ${ Frac {Log _ {{3}} (x)} {Log _ {{4}} (a)}}$ , и не го намалувајте цел број, вредноста на изразот не може да се најде рачно.

Сликата со наслов Подели логаритми Чекор 2

2. Конвертирај израз на еден логаритам. Ако изразот не се однесува на горенаведените случаи, може да биде претставено како еден логаритам. Користете за ова следната формула:

Пријавете се внатре (од) Пријавете се внатре (Но,) = {Пријавете се}_{Но,} (од)

${ Frac { log _ {{b}} (x)} { log _ {{b}} (a)}} = log _ {{a}} (x)$ .

Пример 1: Размислете за изразот

Пријавете се Шеснаесет години Пријавете се 2

.
За почеток, ние ќе поднесеме израз во форма на еден логаритам со помош на горенаведената формула:

Пријавете се Шеснаесет години Пријавете се 2 = {Пријавете се}_{2} (Шеснаесет години)

${ Frac { log {16}} { log {2}}} = log _ {{2}} (16)$ .

Оваа формула "Замена на база" Логаритам е изведен од главните својства на логаритми.

Сликата со наслов Подели логаритми Чекор 3

3. Ако е можно, пресметајте ја вредноста на изразот рачно. Да најде

Пријавете се A (X)

$log _ {{a}} (x)$ , Замислете израз "

A ? = X

$A ^ {{?}} = X$ ", Тоа е, прашајте го следното прашање: "Кој степен треба да се изгради A, Да се добие X?". За да одговорите на ова прашање, може да биде потребен калкулатор, но ако сте среќни, можете рачно да го најдете.

Пример 1 (продолжение): преработи

Пријавете се 2 (Шеснаесет години)

$Log _ {{2}} (16)$ Како

2 ? = Шеснаесет години

$2 ^ {{?}} = 16$ . Неопходно е да се најде кој број треба да стои наместо знак "?". Ова може да се направи со примероци и грешки:

22 = 2 * 2 = Четири

$2 ^ {{2}} = 2 * 2 = 4$

23 = Четири * 2 = осум

$2 ^ {{3}} = 4 * 2 = 8$

2 Четири = осум * 2 = Шеснаесет години

$2 ^ {{4}} = 8 * 2 = 16$
Значи, саканиот број е 4:

Пријавете се 2 (Шеснаесет години)

$Log _ {{2}} (16)$ = Четири.

Сликата со наслов Подели логаритми Чекор 4

Четири. Оставете го одговорот во логаритамска форма ако не успеете да го поедностави. Многу логаритми се многу тешко да се пресмета рачно. Во овој случај, за да добиете точен одговор, ќе ви треба калкулатор. Меѓутоа, ако одлучите за задачата во лекцијата, тогаш наставникот најверојатно ќе го задоволи одговорот во логаритамска форма. Подолу, методот што се разгледува се користи за решавање на посложен пример:

Пример 2: Што е еднакво

Пријавете се 3 (58) Пријавете се 3 (7)

${ Frac { log _ {{3}} (58)} { log _ {{3}} (7)}}$ ?

Го трансформираме овој израз во еден логаритам:

Пријавете се 3 (58) Пријавете се 3 (7) = {Пријавете се}_{7} (58)

${ Frac { log _ {{3}} { log _ {{3}} (7)}} = log _ {{7}} (58)$ . Ве молиме имајте предвид дека основата за логаритми ₃ исчезнува - ова е точно поради некоја причина.

Преработи израз во форма

7 ? = 58

$7 ^ {{?}} = 58$ и обидете се да најдете вредност ?:

72 = 7 * 7 = 49

$7 ^ {{2}} = 7 * 7 = 49$

73 = 49 * 7 = 343

$7 ^ {{3}} = 49 * 7 = 343$
Од 58 е помеѓу овие два броја,

Пријавете се 7 (58)

$Log _ {{7}} (58)$ не е изразен во цел број.

Остави одговор во логаритамска форма:

Пријавете се 7 (58)

$Log _ {{7}} (58)$ .

Метод 2 од 2:

Како да најдете приватен логаритам

Еден. Размислете за случајот кога логаритмот е приватна (дел). Овој дел е посветен на изразите од типот

Пријавете се Но, (\frac{од}{и})

$log _ {{a}} ({ frac {x} {y}})$ .

Да претпоставиме дека треба да ја решите следната задача:
"Најди n на кој $Пријавете се 3 (27 6 Н) = - 6 - {Пријавете се}_{3} (6)$ $log _ {{3}} ({ frac {27} {6N}}) = - 6- log _ {{3}} (6)$ ".

Сликата со наслов Подели логаритми Чекор 6

2. Проверете дали не постои негативен број под знакот за логаритам. Логаритам на негативен број не е дефиниран. Ако X или Y се негативни, осигурајте се дека задачата има решение пред да започне со пребарувањето:

Ако X или Y помалку нула, задачата нема решение.

Ако И двајцата Броевите x и y се негативни, го намалуваат знакот минус:

- од - и = \frac{од}{и}

${ Frac {-x} {- y}} = { frac {x} {y}}$ .

Во горниот пример, нема негативни броеви под знак за логаритам, за да можете да одите на следниот чекор.

Сликата со наслов Подели логаритми Чекор 7

3. Ширење на логаритам приватно на два логаритам. Друга корисна сопственост на логаритми е опишана со следната формула:

Пријавете се Но, (\frac{од}{и}) = {Пријавете се}_{Но,} (од) - {Пријавете се}_{Но,} (y)

$log _ {{a}} ({ frac {x} {y}}) = log _ {{a}} (x) - log _ {{a}} (y)$ . Со други зборови, логаритам на приватниот е секогаш еднаков на разликата помеѓу логаритмите на поделбата и делител.

Ние ја користиме оваа формула за распаѓање на левиот дел од еднаквоста:

Пријавете се 3 (27 6 Н) = {Пријавете се}_{3} (27) - {Пријавете се}_{3} (6 Н)

$Log _ {{3}} ({ frac {27} {6N}}) = log _ {{3}} (27) - log _ {{3}} (6n)$

Ние ќе го замениме изразот во нашата еднаквост:

Пријавете се 3 (27 6 Н) = - 6 - {Пријавете се}_{3} (6)

$log _ {{3}} ({ frac {27} {6N}}) = - 6- log _ {{3}} (6)$
→

Пријавете се 3 (27) - {Пријавете се}_{3} (6 Н) = - 6 - {Пријавете се}_{3} (6)

$Log _ {{3}} (27) - log _ {{3}} (6n) = - 6- log _ {{3}} (6)$

Сликата со наслов Подели логаритми Чекор 8

Четири. Ако е можно, поедноставете го изразот. Ако добиените логаритми се претставени со цели броеви, можете да го поедноставите изразот.

Во нашиот пример, се појави нов член:

Пријавете се 3 (27)

$Log _ {{3}} (27)$ . Од 3 = 27, наместо тоа

Пријавете се 3 (27)

$Log _ {{3}} (27)$ може да биде супституиран 3.

Како резултат на тоа, го добиваме следниот израз:

3 - Пријавете се 3 (6 Н) = - 6 - {Пријавете се}_{3} (6)

$3- log _ {{3}} (6N) = - 6- log _ {{3}} (6)$

Сликата со наслов Подели логаритми Чекор 9

Пет. Посебна непозната вредност. Како и со растворот на други алгебарски равенки, се препорачува да се пренесе саканиот износ во една насока, и сите други членови се наоѓаат во другата страна на равенката. Во исто време, комбинирајте слични членови за да ја поедноставите равенката.

3 - Пријавете се 3 (6 Н) = - 6 - {Пријавете се}_{3} (6)

$3- log _ {{3}} (6N) = - 6- log _ {{3}} (6)$

I - Пријавете се 3 (6 Н) = - {Пријавете се}_{3} (6)

$9- log _ {{3}} (6n) = - log _ {{3}} (6)$

Пријавете се 3 (6 Н) = I + {Пријавете се}_{3} (6)

$Log _ {{3}} (6N) = 9 + log _ {{3}} (6)$ .

Сликата со наслов Подели логаритми Чекор 10

6. Доколку е потребно, користете други својства на логаритми. Во нашиот случај, непозната вредност е под знакот на логаритам. За да го одделите од други членови, треба да го користите Други својства на логаритам.

Во нашиот пример Н дел од составен

Пријавете се 3 (6 Н)

$Log _ {{3}} (6n)$ .
Да се одвои Н, Ние го користиме следниов имотот на логаритми:

Пријавете се Но, (внатре од) = {Пријавете се}_{Но,} (внатре) + Пријавете се Но, (од)

$log _ {{a}} (bc) = log _ {{a}} (б) + log {a} (c)$

Пријавете се 3 (6 Н) = {Пријавете се}_{3} (6) + {Пријавете се}_{3} (Н)

$Log _ {{3}} (6n) = log _ {{3}} (6) + Log _ {{3}} (n)$

Заменете ја оваа количина на логаритми во нашиот израз:

Пријавете се 3 (6 Н) = I + {Пријавете се}_{3} (6)

$Log _ {{3}} (6N) = 9 + log _ {{3}} (6)$

Пријавете се 3 (6) + {Пријавете се}_{3} (Н) = I + {Пријавете се}_{3} (6)

$log _ {{3}} (6) + Log _ {{3}} (n) = 9 + log _ {{3}} (6)$

Сликата со наслов Подели логаритми Чекор 11

7. Продолжете со поедноставување на изразот додека не го добиете одговорот. Користете за ова правило алгебра и својствата на логаритмите. Ако одговорот не е изразен во цел број, користете го калкулаторот и околу резултатот до најблискиот значителен број.