Как решать задачи со степенями

Степенот се користи за поедноставување на снимањето на множењето на бројот на самите себе. На пример, наместо снимање $Четири * Четири * Четири * Четири * Четири$ 4 * 4 * 4 * 4 * 4 може да биде напишано $Четири Пет$ $4 ^ {5}$ (Објаснување на оваа транзиција е дадено во првиот дел од овој член). Степени овозможуваат поедноставување на пишувањето на долги или сложени изрази или равенки исто така лесно се преклопуваат и одземе, што доведува до поедноставување на изразување или равенка (на пример, $Четири 2 * {Четири}^{3} = {Четири}^{Пет}$ $4 ^ {2} * 4 ^ {3} = 4 ^ {5}$ ).

Забелешка: Ако треба да ја решите индикативната равенка (во оваа равенка, непознатото е во показател за степенот), прочитајте Оваа статија.

Чекори

Метод 1 од 3:

Решение на наједноставните задачи со степени

Еден. Терминологија. На пример, со оглед на диплома

23

$2 ^ {3}$ . Еве 2 е Степен степен, и 3 е експонер. Број

23

$2 ^ {3}$ изрази вака: два во третиот степен или две во Куба.

Ако бројката е присутна 2, на пример, $Пет 2$ $5 ^ {2}$ , Тогаш се нарекува таков индикатор Плоштад, Тоа е, нашиот пример е изразено вака: пет квадратни.
Ако бројката е присутна 3, на пример, $103$ $10 ^ {3}$ , Тогаш се нарекува таков индикатор Куба, Тоа е, нашиот пример е изрази вака: десет во Куба.
Ако бројот нема индикатор за степенот, тоа значи дека бројката е еднаква на 1. На пример, $Четири = Четири Еден$ $4 = 4 ^ {1}$ .
Секој број (дел, израз) подигната до нула степен, еднаков на 1, тоа е $Четири 0 = Еден$ $4 ^ {0} = 1$ или $(3 / осум)^{0} = Еден.$ $(3/8) ^ {0} = 1$ Повеќе информации може да се најдат во делот "Совети".

Сликата под наслов Решавање на експоненти Чекор 2

2. Умножете ја основата на самиот степен според бројот на пати еднаков на индикаторот на степенот. Ако треба рачно да ја решите задачата со степени, преработете го степенот во форма на операција за множење, каде што основата на степенот се множи само по себе. На пример, со оглед на диплома

3 Четири

$3 ^ {4}$ . Во овој случај, основата на степенот 3 мора да се помножи по себе 4 пати:

3 * 3 * 3 * 3

. Еве други примери:

Четири Пет = Четири * Четири * Четири * Четири * Четири

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

осум 2 = осум * осум

$8 ^ {2} = 8 * 8$

Десет во Куба

= 10 * 10 * 10

Сликата под наслов Решавање на експоненти Чекор 3

3. За да почнете да ги помножите првите два броја. На пример,

Четири Пет

$4 ^ {5}$ =

Четири * Четири * Четири * Четири * Четири

. Не грижете се - процесот на пресметување не е толку комплициран како што изгледа на прв поглед. Прво се размножуваат првите две четири, а потоа ги заменуваат со резултатот. Како ова:

Четири Пет = Четири * Четири * Четири * Четири * Четири

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

Четири * Четири = Шеснаесет години

$Четири Пет = Шеснаесет години * Четири * Четири * Четири$ $4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

Сликата под наслов Решавање на експоненти Чекор 4

Четири. Умножете го резултатот (во нашиот пример 16) на следниот број. Секој последователен резултат ќе биде пропорционално зголемен. Во нашиот пример, размножете 16 до 4. Како ова:

Четири Пет = Шеснаесет години * Четири * Четири * Четири

$4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

Шеснаесет години * Четири = 64

$Четири Пет = 64 * Четири * Четири$ $4 ^ {5} = 64 * 4 * 4$

64 * Четири = 256

$Четири Пет = 256 * Четири$ $4 ^ {5} = 256 * 4$

256 * Четири = 1024

Продолжете да го помножите резултатот од множење на првите два броја на следниот број додека не го добиете конечниот одговор. За да го направите ова, промените ги првите два броја, а потоа резултатот се множи со следниот број во секвенцата. Овој метод важи за секој степен. Во нашиот пример треба да добиете: $Четири Пет = Четири * Четири * Четири * Четири * Четири = 1024$ $4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ .

Сликата под наслов Решавање на експоненти Чекор 5

Пет. Одлучете ги следниве задачи. Прегледајте проверка со калкулаторот.

осум 2

$8 ^ {2}$

3 Четири

$3 ^ {4}$

107

$10 ^ {7}$

Сликата под наслов Решавање на експоненти Чекор 6

6. На калкулаторот, пронајдете го клучот наведен како "EXP", или "XН{ displaystyle x ^ {n}} $x ^ {n}$ ", Или" ^ ". Со овој клуч ќе го подигнете бројот до степен. Пресметајте го степенот со голем показател рачно невозможно (на пример, степен

I петнаесет

$Јас ^ {{15}}$ ), но калкулаторот лесно се справува со оваа задача. Во Windows 7, стандарден калкулатор може да се префрли на инженерскиот режим - за овој клик "View" -> "Инженеринг". За да се префрлите во нормален режим, кликнете "View" -> "Нормално".

Проверете го одговорот добиен од Google. Искористување на копчето "^" на тастатурата на компјутерот, внесете го изразот во пребарувачот, кој веднаш го прикажува точниот одговор (и може да понуди слични изрази за студирање).

Метод 2 од 3:

Покрај тоа, поттикнување, множење на степени

Еден. Да ги преклопите и да ги одбиете степените само ако ги имаат истите основи. Ако треба да додадете степени со исти основи и индикатори, тогаш можете да ја замените работата на додавање на операција на множење. На пример, изразот е даден

Четири Пет + {Четири}^{Пет}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5}$ . Запомнете дека степенот

Четири Пет

$4 ^ {5}$ може да биде претставена како

Еден * Четири Пет

$1 * 4 ^ {5}$ - На овој начин,

Четири Пет + {Четири}^{Пет} = Еден * {Четири}^{Пет} + Еден * {Четири}^{Пет} = 2 * {Четири}^{Пет}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 1 * 4 ^ {5} + 1 * 4 ^ {5} = 2 * 4 ^ {5}$ (каде 1 +1 = 2). Тоа е, размислете за бројот на слични степени, а потоа се размножуваат како степен и ова е бројот. Во нашиот пример, елаборираме 4 во петтиот степен, а потоа резултатот добиен се множи со 2. Запомнете дека Операцијата за додавање може да се замени со операција за множење, на пример,

3 + 3 = 2 * 3

. Еве други примери:

$32 + 3^{2} = 2 * 3^{2}$ $3 ^ {2} + 3 ^ {2} = 2 * 3 ^ {2}$
$Четири Пет + {Четири}^{Пет} + {Четири}^{Пет} = 3 * {Четири}^{Пет}$ $4 ^ {5} + 4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 3 * 4 ^ {5}$
$Четири Пет - {Четири}^{Пет} + 2 = 2$ $4 ^ {5} -4 ^ {5} + 2 = 2$
$Четири од 2 - 2 {од}^{2} = 2 {од}^{2}$ $4x ^ {2} -2x ^ {2} = 2x ^ {2}$

Сликата под наслов Решавање на експоненти Чекор 8

2. Кога се размножуваат степени со иста основа, нивните индикатори се преклопени (основата не се менува). На пример, изразот е даден

од 2 * {од}^{Пет}

$x ^ {2} * x ^ {5}$ . Во овој случај, само треба да ги преклопите индикаторите, оставајќи ја основата непроменета. На овој начин,

од 2 * {од}^{Пет} = {од}^{7}

$x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$ . Еве визуелно објаснување за ова правило:

од 2 * {од}^{Пет}

$x ^ {2} * x ^ {5}$

од 2 = од * од

$x ^ {2} = x * x$

од Пет = од * од * X * X * од

$x ^ {5} = x * x * x * x * x$

од 2 * {од}^{Пет} = (од * X) * (од * од * од * од * од)

$x ^ {2} * x ^ {5} = (x * x) * (x * x * x * x * x)$

Бидејќи базата се множи само по себе, можеме да го поднесеме во следната форма:

од 2 * {од}^{Пет} = од * од * од * од * од * од * од

$x ^ {2} * x ^ {5} = x * x * x * x * x * x * x$

$од 2 * {од}^{Пет} = {од}^{7}$ $x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$

Сликата под наслов Решавање на експоненти Чекор 9

3. Кога степенот е подигнат во степенот, индикаторите се променливи. На пример, со оглед на диплома

(од 2)^{Пет}

$(x ^ {2}) ^ {5}$ . Бидејќи индикаторите на степенот се променливи, тогаш

(од 2)^{Пет} = {од}^{2 * Пет} = {од}^{10}

$(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {{2 * 5}} = x ^ {{10}}$ . Значењето на ова правило е дека го размножувате степенот

(од 2)

$(x ^ {2})$ за себе пет пати. Како ова:

(од 2)^{Пет}

$(x ^ {2}) ^ {5}$

(X 2)^{Пет} = {од}^{2} * {од}^{2} * {од}^{2} * {од}^{2} * {од}^{2}

$(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2}$

Бидејќи базата е иста, индикаторите на степенот едноставно се додаваат: $(од 2)^{Пет} = {од}^{2} * {од}^{2} * {од}^{2} * X^{2} * X^{2} = {од}^{10}$ $(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} = x ^ {{10}}$

Сликата под наслов Решавање на експоненти Чекор 10

Четири. Степенот со негативен индикатор треба да се конвертира во дел (во обратна насока). Не е проблеми ако не знаете што е обратно. Ако ви е даден степен со негативен показател, на пример,

3 - 2

$3 ^ {{- 2}}$ , Запишете го овој степен во деноминаторот на панталони (во броителот, ставете 1) и направете го индикаторот позитивен. Во нашиот пример:

\frac{Еден}{3} 2

${ Frac {1} {3 ^ {2}}}$ . Еве други примери:

Пет - 10 = \frac{Еден}{Пет} 10

$5 ^ {{- 10}} = { frac {1} {5 ^ {{{10}}}}$

3 од - Четири = \frac{3}{од} Четири

$3x ^ {{- 4}} = { frac {3} {x ^ {4}}}$

Сликата под наслов Решавање на експоненти Чекор 11

Пет. Кога се делат степени со иста основа, нивните индикатори се одземаат (основата не се менува). Работата на поделбата е спротивно на операцијата за множење. На пример, изразот е даден

Четири Четири {Четири}^{2}

${ Frac {4 ^ {4}} {4 ^ {2}}}$ . Отстранете го индикаторот на степенот во именителот, од индикаторот на степенот на стоење во броителот (не ја менувајте основата). На овој начин,

Четири Четири {Четири}^{2} = {Четири}^{Четири - 2} = {Четири}^{2}

${ Frac {4 ^ {4}} {4 ^ {2}}} = 4 ^ {{4-2}} = 4 ^ {2}$ = Шеснаесет години.

Степенот со кој се соочува именоминаторот може да биде напишан во оваа форма:

\frac{Еден}{Четири} 2

${ Frac {1} {4 ^ {2}}}$ =

Четири - 2

$4 ^ {{- 2}}$ . Запомнете дека фракцијата е број (степен, израз) со негативен показател за степенот.

Сликата под наслов Решавање на експоненти Чекор 12

6. Подолу се подразбираат некои изрази кои ќе ви помогнат да научите да ги решите задачите со степени. Овие изрази го покриваат материјалот утврден во овој дел. Со цел да се види одговорот, само нагласи го празниот простор по знакот на еднаквост.

Пет 3

$5 ^ {3}$ = 125

22 + 2^{2} + 2^{2}

$2 ^ {2} + 2 ^ {2} + 2 ^ {2}$ = 12

од Еден 2 - 2 {од}^{Еден} 2

$x ^ {1} 2-2x ^ {1} 2$ = -X ^ 12

и 3 * и

$y ^ {3} * y$ =

и Четири

$y ^ {4}$ Запомнете дека секој број е степен со индикатор 1

(ДО 3)^{Пет}

$(Q ^ {3}) ^ {5}$ =

П: Еден Пет

$Q ^ {1} 5$

Р Пет Р^{2}

${ Frac {r ^ {5}} {R ^ {2}}}$ =

Р 3

$R ^ {3}$

Метод 3 од 3:

Решавање на задачи со фракциони индикатори

Еден. Степен со фракциони индикатор (на пример, XЕден2{ DisplayStyle X ^ { frac {1} {2}}} $X ^ {{{ frac {1} {2}}}}$ ) се претвора во екстракција на коренот. Во нашиот пример:

X \frac{Еден}{2}

$X ^ {{{ frac {1} {2}}}}$ =

\sqrt{X}

. Тоа не е важно тука, кој број е во именителот на фракциониот индикатор на степенот. На пример,

од \frac{Еден}{Четири}

$X ^ {{{ frac {1} {4}}}}$ - Ова е коренот на четвртиот степен од "X", односно

од Четири

Работата на искористувањето на коренот се враќа во однос на операцијата на вежбање. На пример, ако коренот $од Четири$ изгради четврти степен, тогаш ќе добиете "X", како и $Шеснаесет години Четири = 2$ Можете да проверите на следниов начин: $2 Четири = Шеснаесет години$ $2 ^ {4} = 16$ . Друг пример: ако $од Четири = 2$ , тоа $2 Четири = од$ $2 ^ {4} = x$ - На овој начин, $од = 2$ .

Сликата под наслов Решавање на експоненти Чекор 14

2. Ако индикаторот е неправилна фракција, тогаш таков степен може да се распадне за два степени за да се поедностави решението на проблемот. Нема ништо комплицирано во ова - само се сеќавам на владеењето на множење по степени. На пример, со оглед на диплома

од \frac{Пет}{3}

$X ^ {{{ frac {5} {3}}}}$ . Свртете го таков степен до коренот, од кој степенот ќе биде еднаков на деноминаторот на фракциониот индикатор, а потоа земете го овој корен до степен еднаков на сплитерскиот број. За да го направите тоа, запомнете го тоа

\frac{Пет}{3}

(\frac{Еден}{3}) * Пет

. Во нашиот пример:

од \frac{Пет}{3}

$X ^ {{{ frac {5} {3}}}}$

од \frac{Пет}{3} = {од}^{Пет} * {од}^{\frac{Еден}{3}}

$x ^ {{{ frac {5}}} = x ^ {5} * x ^ {{{ frac {1} {3}}}}$

од \frac{Еден}{3} = X 3

$x ^ {{{ frac {1} {3}}}} = { sqrt [{3}] {x}}$

од \frac{Пет}{3} = {од}^{Пет} * {од}^{\frac{Еден}{3}}

$x ^ {{{ frac {5}}} = x ^ {5} * x ^ {{{ frac {1} {3}}}}$ = $(од 3)^{Пет}$ $({ Sqrt [{3}] {x}}) ^ {5}$

Сликата под наслов Решавање на експоненти Чекор 15

3. Свиткајте, одземање и продолжени фракциски индикатори за општи правила. Тоа е полесно да се додадат и одбиваат фракциони индикатори пред да ги конвертирате степените во корените или во броеви. Ако степени се дадени со исти основи и индикатори, тие развиваат и одземаат според општите правила. Ако степените се дадени само со исти основи, можете да ги размножите и да ги делите (само ако се сетите Правила за додавање и одземање на фракции). На пример:

од \frac{Пет}{3} + {од}^{\frac{Пет}{3}} = 2 ({од}^{\frac{Пет}{3}})

$X ^ {{{{}}}} + x ^ {{{ frac {5}} = 2 (x ^ {{{ frac {5} {3}} }})$

од \frac{Пет}{3} * {од}^{\frac{2}{3}} = {од}^{\frac{7}{3}}

$X ^ {{{ frac {5}}} {3} {5} {3}}}} = x ^ {{{ frac {7}}}}}}}}}}}}}}$

Совети

Поедноставувањето на изразот е да се донесе до таква форма (со користење на исполнување на математичките операции), што е полесно да се реши.
На некои калкулатори постои копче за пресметување на степени (прво треба да ја внесете основата, а потоа притиснете го копчето, а потоа внесете го индикаторот). Тоа е означено како ^ или x ^ y.
Запомнете дека секој број во првиот степен подеднакво за себе, на пример, $Четири Еден = Четири.$ $4 ^ {1} = 4$ Покрај тоа, секој број помножен или поделен со еден е еднаков на себе, на пример, $Пет * Еден = Пет$ и $Пет / Еден = Пет$ .
Знајте дека степенот 0 не постои (овој степен нема решение). Кога се обидувате да решите како диплома на калкулаторот или на компјутерот ќе добиете грешка. Но, запомнете дека секој број на нула е еднаков на 1, на пример, $Четири 0 = Еден.$ $4 ^ {0} = 1$
Во највисоката математика, која работи со имагинарни броеви: $Е Но, и од = од за од Но, од + и од и Н Но, од$ $E ^ {a} ix = cosax + isinax$ , Каде $и = \sqrt{(} - Еден)$ - Е-константа, приближно еднаква на 2,7- и - произволна константа. Доказ за оваа еднаквост може да се најде во секој учебник за повисока математика.

Предупредувања

Со зголемување на индикаторот на степенот, неговата вредност се зголемува. Значи, ако одговорот ви изгледа погрешно, всушност тој може да биде верен. Можете да го проверите со изградба на распоред на која било индикативна функција, на пример, 2.