Како да се распаднат полиномите со повеќе степени (квадратна равенка)

Полиномот содржи променлива (x), подигната во одреден степен и неколку членови и / или слободни членови. Распаѓање на полиноми на мултипликатори - разделување на кратки и едноставни полиноми, кои се множат едни со други. Способноста да се шири полиномот на мултипликатори бара доволно математичко знаење и вештини.

Чекори

Метод 1 од 7:

Примарни чекори

Еден. Запишете ја равенката. Стандарден облик на квадратна равенка:

AX + BX + C = 0
Организира членовите почнувајќи со највисок ред. Размислете за пример:

6 + 6x + 13x = 0
Дајте ја оваа равенка на стандардната форма на квадратна равенка (едноставно со менување на местата):

6x + 13x + 6 = 0

Сликата насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 2

2. Се шири на мултипликатори со користење на еден од методите подолу. Распаѓањето на полиноми на мултипликатори е разделување на тоа на кратки и едноставни полиноми кои се множи едни со други.

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Во овој пример, Bicked (2x +3) и (3x + 2) се мултипликатори на оригиналниот полином 6x + 13x + 6.

Сликата насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 3

3. Проверете ја работата со множење на членовите и додавање на исти (слични) членови.

(2x + 3) (3x + 2)

6x + 4x + 9x + 6

6x + 13x + 6

(каде 4 и 9x се слични членови). Така, ние правилно распаднат полином на мултипликатори, бидејќи со нивното множење го добивме оригиналниот полином.

Метод 2 од 7:

Решение и решенија за грешки

Ако ви се даде прилично едноставен полином, може самостојно да го распаѓате на мултипликатори. На пример, искусни математичари веднаш можат да утврдат што полиномијата 4x + 4x + 1 Има мултипликатори (2x + 1) и (2x + 1). (Забелешка, овој метод нема да биде толку едноставен кога се распаѓа посложено полином.) Размислете за пример:

3x + 2x - 8

Еден. Запишете ги пар фактори на коефициенти A и В. Користејќи го изразот на погледот AX + BX + C = 0, Ги одредуваат коефициентите A и В. Во нашиот пример

A = 3 и мултипликатори: 1 * 3
C = -8 и мултипликатори: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, -1 * 8.

Слика насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 5

2. Наместете два пара загради со празни места, наместо кои се наоѓаат слободни членови:

(x) (x)

Сликата насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 6

3. Порано X Стави пар фактори за коефициентот A. Во нашиот пример, таков двојка е само еден:

(3x) (1x)

Слика насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 7

Четири. После X Стави пар мултипликатори од. Да претпоставиме дека земаме 8 и 1. Добиваме:

(3xосум) (XЕден)

Сликата насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 8

Пет. Да одлучи кој знак да се стави помеѓу X и броеви (слободни членови). Во зависност од знаците во изворната равенка, можете да дефинирате знаци пред слободните членови. Слободни членови во нашите бикини - мултипликатори Час и К:

Ако AX + BX + C, тогаш (x + h) (x + k)
Ако секира е BX-C или AX + BX-C, тогаш (x-H) (x + k)
Ако секира - BX + C, тогаш (x-h) (x-k)
Во нашиот пример 3x + 2x - 8, затоа (x-h) (x + k) и

(3x + 8) (x - 1)

Сликата насловен фактор вториот степен полиноми (квадратни равенки) чекор 9

6. Проверете ги резултатите со поместување на изразите во загради. Ако вториот член е веќе (од променливата x) неточна (без разлика, негативно или позитивно), вие не сте избрале пар мултипликатори В.

(3x + 8) (x - 1)

3x - 3x + 8x - 8

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8thfter, кога множење мултипликатори, добиваме израз кој не е еднаков на почетната значи дека ние не ги избравме двата фактори.

Сликата насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 10

7. Промена на неколку мултипликатори В. Во нашиот пример, земете 2 и 4 наместо 1 и 8.

(3x + 2) (x - 4)
Сега В = -8. Сепак (3x * -4) + (2 * x) = -12x + 2x = -10x, тоа е, сега Б = -10x, и во почетната равенка Б = 2x (не е во ред Б).

Слика насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 11

осум. Промена на постапката за мултипликатори. Ние ги менуваме местата 2 и 4:

(3x + 4) (x - 2)
В Што треба да биде (4 * -2 = -8). -6x + 4x ни дава точна вредност (2x), но погрешен знак пред него (-2x наместо + 2x).

Слика насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 12

Девет. Промени знаци. Постапката за членовите во загради го напушта истото, но ги менува знаците:

(3x - 4) (x + 2)
В Што треба да биде (-8), и

Б= 6x - 4x = 2x
2x = 2xКако што се бара. Така, ги пронајдовме вистинските фактори на оригиналната равенка.

Метод 3 од 7:

Решение со распаѓање

Користејќи го овој метод, можете да ги дефинирате сите фактори на коефициентите A и В и користете ги при наоѓање мултипликатори на оваа равенка. Ако броевите се големи или уморни од претпоставка, користете го овој начин. Размислете за пример:

6x + 13x + 6

Еден. Помножете го коефициент A (6 Во нашиот пример) на коефициентот В (исто така 6 во нашиот пример).

6 * 6 = 36

Слика насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 14

2. Најди го коефициент Б распаѓање на мултипликатори и следење. Бараме два броја што, во множи стил, даде резултат еднаква на резултатот од множење A * В (во нашиот пример 36), и кога додавањето ќе даде резултат еднаков на коефициентот Б (во нашиот пример 13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

Сликата насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 15

3. Замени два броја пронајдени во изворната равенка како сума (што е еднакво Б). Означуваат броеви пронајдени К и Час (Постапката не е важна):

AX + KX + HX + C
6x + 4x + 9x + 6

Сликата насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 16

Четири. Ширење на полиномот за членовите на групата. Група членови на оригиналната равенка, со цел да ги издржи најголемите општи мултипликатори на првите двајца и последните два члена. Во исто време, изразите во двете загради треба да бидат исти. Заеднички мултипликатори се организираат во изразот и мултиплицираат на истиот израз во загради.

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Метод 4 од 7:

Троен метод

Многу сличен на методот на распаѓање. Овој метод ги разгледува можните фактори за резултати од множењето A на В и ги користи за да најдат вредност Б. Размислете за пример: 8x + 10x + 2

Еден. Помножете се A (8 на пример) на В(2 на пример).

8 * 2 = 16

Сликата насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 18

2. Најдете два броја што ќе им даде 16 во множење, а чиј резултат е еднаков на коефициентот Б (10 на пример).

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

Сликата насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 19

3. Пронајдени два броја (означете ги Час и К) Замена за следната равенка (Троен метод "Формула"):

((Ax + h) (ax + k)) / a

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Слика насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 20

Четири. Дознајте кој израз во двете загради е целосно поделен A. Во нашиот пример, овој израз е (8x + 8). Поделете го овој израз на A, И оставете го изразот на втората заграда како што е.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Поделете го овој израз на 8 (A) и добијте (x + 1)

Сликата насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 21

Пет. Земете најголем заеднички делител (јазол) од било кој или два загради (ако е). Во нашиот пример, јазолот на изразување од втората заграда е 2 (од 8x + 2 = 2 (4x + 1)). Така, ние го добиваме

2 (x + 1) (4x + 1)

Метод 5 од 7:

Квадратна разлика

Некои полиномични коефициенти може да се идентификуваат како "квадрати" (работа на два идентични броеви). Наоѓање на "квадрати" ви овозможува да го забрзате распаѓањето на полиномот на мултипликатори. Размислете за пример:

27x - 12 = 0

Еден. Изврши најчестиот заеднички делител за загради (ако е). Во нашиот пример, 27 и 12 се поделени на 3.

27x - 12 = 3 (9x - 4)

Сликата насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 23

2. Утврди дека почетната равенка е разликата на два квадрати.Равенката мора да има два члена од кои квадратниот корен може да се отстрани.

9x = 3x * 3x и 4 = 2 * 2 (забележете дека паднавме минус знак)

Сликата насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) чекор 24

3. Замени вредности A и В Во израз на формата:

(√ (а) + √ (в)) (√ (a) - √ (c))

Во нашиот пример A = 9 I В = 4, √A = 3 и √В = 2. На овој начин,

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Метод 6 од 7:

Формулата за решавање на квадратна равенка

Ако другите методи не работат и полиномот не се распаѓа на фактори, користете ги решенијата на квадратната равенка. Размислете за пример:

X + 4x + 1 = 0

Еден. Ги поднесуваат соодветните вредности во формулата:

X = -B ± √ (B-4AC)
---------------------
2а
Ние добиваме израз:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2

Слика насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 26

2. Најди X. Мора да добиете две значења X. Како што е прикажано погоре, наоѓаме две решенија:

x = -2 + √ (3) или x = -2 - √ (3)

Сликата насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 27

3. Пронајдени се замени вредности X наместо тоа Час и К Во израз на формата:

(X-h) (x-k)

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2- √ (3)) = (x + 2- √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Метод 7 од 7:

Калкулатор

Ако можете да користите графички калкулатор, тоа значително ќе го поедностави процесот на распаѓање на полиноми на мултипликатори. Подолу се инструкции за графички калкулатор Ti. Размислете за пример:

Y = x - x - 2

Еден. Внесете ја вашата равенка во [y =].

Сликата насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 29

2. Притиснете [Graph] за да изградите графикон на равенката. Ќе видите мазна крива (во нашиот случај парабола, бидејќи ова е квадратна равенка).

Сликата насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) чекор 30

3. Најди ги точките на пресекот на Parabola со X оската. Значи, ќе најдете вредности X.

(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2

Ако визуелно не можете да ги одредите координатите, притиснете [2], а потоа [трага]. Притиснете [2] или изберете "нула". Вчитајте го курсорот на левиот пресек и притиснете [Enter]. Вчитајте го курсорот на вистинскиот пресек и притиснете [Enter]. Самиот калкулатор ги одредува вредностите X.

Слика насловен фактор втор степен полиноми (квадратни равенки) Чекор 31

Четири. Замени вредности X наместо тоа Час и К Во израз на формата:

(x-h) (x-k) = 0

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Совети

Ако имате графички TI-84 калкулатор, тогаш за тоа постои програма за решавање која ги решава квадратни равенки (и во општите равенки од која било мера).
Ако членот не е во полином, тогаш коефициентот е еднаков на 0. Ако имате таков случај, корисно е да ја преработите равенката во форма:

x + 6 = x + 0x + 6
Ако сте поставиле полином со помош на формулата за решавање на квадратна равенка и добивте одговор на корените, конвертирате вредности X во дел за проверка.
Ако со непозната (променлива) нема коефициент, тоа е еднакво на 1.

x = 1x
Со текот на времето, ќе научите да го држите методот на примероци и грешки во мојата глава. И додека не го напише.

Предупредувања

Ако го проучувате распаѓањето на полиноми во класите, користете го методот кој го советува наставникот, а не оној што го сакате. Наставникот на испитот може да побара употреба на кој било конкретен начин и може да забрани со користење на графички калкулатор.