Како да се инфиртира имплицитна функција: 7 чекори

Кога ќе добиете јасна функција, во која зависната променлива е изолирана на едната страна од знакот за еднаквост (на пример, y = x -3x), тогаш лесно можете да го поврзете (што е, за да го пронајдете својот дериват). Но, имплицитни функции (на пример, x + y - 5x + 8y + 2xy = 19), во која не е толку едноставно да се оддели зависната променлива поинаку поинаку поинаку.

Чекори

Метод 1 од 2:

Наоѓање на деривати на едноставна функција

Еден. Од двете страни на функцијата, најдете (на стандарден начин) деривати на членовите кои содржат независна променлива "X" и деривативни слободни членови. Во оваа фаза, членовите кои ја содржат зависната променлива "y" додека не допрете. На пример, функцијата X + Y е дадена - 5x + 8Y + 2xy = 19.

Во нашиот пример x + y - 5x + 8y + 2xy = 19 Постојат двајца членови од променливата "X": X и -5x. Најди ги нивните деривати:
X + y - 5x + 8Y + 2xy = 19
(Степен на 2 во X направи множител, во -5x се ослободи од "X", и дериватот 19 е 0)
2x + y - 5 + 8Y + 2xy = 0

Сликата насловена како имплицитна диференцијација чекор 2

2. Сега земајте деривати од членот од променливата "Y" и им наметнува (DY / DX). На пример, при изнаоѓање на дериват на член, запишете го како што следува: 2Y (DY / DX). Во оваа фаза, членовите кои содржат и варијабли ("X" и "Y") додека не допрете.

Во нашиот пример 2x + y - 5 + 8Y + 2xy = 0 различните членови и 8Y:

2x + y - 5 + 8Y + 2xy = 0

(Индикатор на степенот 2 v M за да се направи мултипликатор, а во 8-ми се ослободи од "Y" - потоа наметнувајте на DX / DY DERIVATATE добиено)

2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2xy = 0

Сликата под наслов Дали имплицитниот чекор на диференцијацијата 3

3. Да се најде дериватива на член кој содржи производ од две варијабли ("X" и "Y"), користете ја функцијата на диференцијација на функцијата на функциите: (F × g) `= f` × g + g × f `, каде што наместо f супстрат "X", и наместо G - "Y". Од друга страна, да се најде дериват на член кој ги содржи приватните две варијабли ("X" и "Y"), користете го правилото за диференцијација на приватни функции: (F / g) `= (g × f` - g `× f) / g, каде што наместо F супстрат "X", и наместо G - "Y" (или обратно, во зависност од функциите што ви се дадени).

Во нашиот пример 2x + 2y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2H = 0 Постои еден член со двете променливи: 2xy. Бидејќи тука променливите се множат, користете ја функцијата на диференцијација на дел од функциите:

2xy = (2x) (y) - Нека 2x = f и y = g in (f × g) `= f` × g + g × f `

(F × g) `= (2x)` × (y) + (2x) × (y) "

(F × g) `= (2) × (y) + (2x) × (2y (dy / dx))

(F × g) `= 2Y + 4xy (DY / DX)

Додајте ги овие членови на главната функција и добијте: 2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4xy (DY / DX) = 0

Сликата под наслов Дали имплицитниот чекор на диференцијација 4

Четири. Дали (DY / DX). Имајте на ум дека сите двајца членови "А" и "Б", кои се множат со (DY / DX), може да бидат напишани во форма (A + B) (DY / DX). За одделување (DY / DX), префрлете ги сите членови без (DY / DX) на едната страна од знакот за еднаквост, а потоа ги делите на членовите кои стојат во загради во (DY / DX).

Во нашиот пример 2x + 2y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4xy (DY / DX) = 0:

2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4xy (DY / DX) = 0

(2Y + 8 + 4xy) (DY / DX) + 2x - 5 + 2Y = 0

(2Y + 8 + 4xy) (DY / DX) = -2Y - 2x + 5

(DY / DX) = (-2Y - 2x + 5) / (2Y + 8 + 4xy)

(DY / DX) = (-2Y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Метод 2 од 2:

Напредни методи

Еден. Подложни вредности (x, y) да се најде (DY / DX) за било која точка. Задолжителни (DY / DX), најдовте деривант на имплицитна функција. Користејќи го овој дериват, можете да го најдете аголниот коефициент на тангенцијален во било која точка (x, y), едноставно заменувајќи во пронајдениот дериват на координатите "X" и "Y".

На пример, неопходно е да се најде аголен коефициент на тангента во точка А (3, -4). За да го направите ова, во дериватот наместо "X" замена 3, и наместо "Y" замена -4:
(DY / DX) = (-2Y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
(DY / DX) = (-2 (-4) - 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)
(DY / DX) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
(DY / DX) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
(DY / DX) = (-33) / (2 (2 (-12))
(DY / DX) = (-33) / (- 48) = 3/48 = 0,6875.

Сликата под наслов Дали имплицитниот чекор на диференцијација 6

2. Искористете ги предностите на деталите за синџирот на диференцијација на сложени функции: Ако функцијата f (x) може да биде напишана во форма (f О е) (x), дериватив f (x) е еднаков F `(g (x)) g` (x). Ова значи дека дериватот на составот на две или повеќе функции може да се пресмета врз основа на поединечни деривати.

Пример: Пронајдете го дериватот на гревот (3x + x). Во овој случај, означете го гревот (3x + x) како "f (x)" и 3x + x како "g (x)".

F `(g (x)) g` (x)

(грев (3x + x)) `× (3x + x)`

Cos (3x + x) × (6x + 1)

(6x + 1) cos (3x + x)

Сликата насловена како имплицитна диференцијација чекор 7

3. Ако функцијата ги содржи променливите "X", "Y", "Z", најдете (DZ / DX) и (DZ / DY). Тоа е, ако функцијата содржи повеќе од две променливи, за секоја дополнителна променлива е неопходно да се најде дополнителен дериват на "X". На пример, ако функцијата содржи "X" променливи, "Y", "Z", треба да најдете (DZ / DX) и (DZ / DY). Можете да го направите ова со насочување на функцијата од страна на "X" двапати - за прв пат ќе додадете (DZ / DX) за секој независен член со "Z", а по втор пат ќе додадам (DZ / DY) при диференцијација "Z". После тоа, едноставно одделете (DZ / DX) и (DZ / DY).

На пример, пронајдете го дериватот XZ - 5xyz = x + y.

Прво, индиференционен од "X" и додадете (DZ / DX). Не заборавајте да го примените правилото за наоѓање на деривати на функцијата на функциите.

xz - 5xyz = x + y

3xz + 2xz (DZ / DX) - 5YZ - 5xy (DZ / DX) = 2x

3xz + (2xz - 5xy) (dz / dx) - 5yz = 2x

(2xz - 5xy) (dz / dx) = 2x - 3xz + 5yz

(Dz / dx) = (2x - 3xz + 5yz) / (2xz - 5xy)

Сега го стори истото за (DZ / DY):

xz - 5xyz = x + y

2xz (DZ / DY) - 25xyz - 5xy (DZ / DY) = 3Y

(2xz - 5xy) (DZ / DY) = 3Y + 25xyz

(DZ / DY) = (3Y + 25xyz) / (2xz - 5xy)

Предупредувања

Обрнете внимание на членовите при диференцијација за кое е неопходно да се примени правилото за изнаоѓање на дериват на производот или приватните функции.