Как решать тригонометрические уравнения: 8 шагов

Тригонометриската равенка содржи една или повеќе тригонометриски функции на променливата "X" (или било која друга променлива). Решението на тригонометриската равенка е да се најде таква "x" вредност, која ги задоволува функциите (функции) и равенката воопшто.

Решенија на тригонометриски равенки се изразени во степени или радијани. Примери:

x = π / 3- x = 5π / 6- x = 3π / 2-x = 45 degneesh = 37.12 degneesh = 178,37 степени.

Забелешка: Вредностите на тригонометриските функции од агли изразени во радијани и од агли изразени во степени се еднакви. Тригонометрискиот круг со радиус еднаков на еден, служи за опишување на тригонометриски функции, како и да ја потврди точноста на растворот на главните тригонометриски равенки и нееднаквостите.
Примери за тригонометриски равенки:

SIN X + SIN 2X = 1/2-TG X + CTG X = 1.732;
Cos 3x + Sin 2x = cos x-2sin 2x + cos x = 1 .

Тригонометриски круг со радиус еднаков на еден (еден круг).
Ова е круг со радиус еднаков на еден, и центарот во точка o. Еден круг опишува 4 основни тригонометриски функции на променливата "X", каде што "X" е агол преброен од позитивната насока на X оската спротивно од стрелките на часовникот.
Ако "x" е некој агол на еден круг, тогаш:
Хоризонталната оска на ОАХ ја дефинира функцијата f (x) = compi.
Вертикалната оска на Ovy ја дефинира функцијата f (x) = SIN x.
Вертикалната оска при дефинира функцијата f (x) = tg x.
Хоризонталната оска на BU ја одредува функцијата f (x) = ctg x.

Единечниот круг исто така се користи за решавање на главните тригонометриски равенки и нееднаквостите (постојат различни одредби на "X").

Чекори

Еден. Концепт за решавање на тригонометриски равенки.

За решавање на тригонометриската равенка, претворете ја во една или повеќе од главните тригонометриски равенки. Решението на тригонометриската равенка е во крајна линија намалена за решавање на четири главни тригонометриски равенки.

Сликата со наслов Решавање на тригонометриски равенки Чекор 2

2. Решение на главните тригонометриски равенки.

Постојат 4 видови на основни тригонометриски равенки:

SIN X = A- COS X = A

Tg x = a- ctg x = a

Решението на главните тригонометриски равенки подразбира разгледување на различни одредби на "X" на еден круг, како и употреба на табела за конверзија (или калкулатор).

Пример 1. SIN X = 0,866. Користење на табелата за конверзија (или калкулатор), ќе го добиете одговорот: x = π / 3. Еден круг дава друг одговор: 2π / 3. Запомнете: сите тригонометриски функции се периодични, односно нивните вредности се повторуваат. На пример, фреквенцијата на гревот X и COS X е 2πN, а фреквенцијата на TG X и CTG X е еднаква на πn. Затоа, одговорот е напишан на следниов начин:

x1 = π / 3 + 2πn- x2 = 2π / 3 + 2πn.

Пример 2. Cos x = -1/2. Користење на табелата за конверзија (или калкулатор), ќе го добиете одговорот: x = 2π / 3. Единствен круг дава друг одговор: -2π / 3.

x1 = 2π / 3 + 2π x2 = -2π / 3 + 2π.

Пример 3. TG (X - π / 4) = 0.

Одговор: x = π / 4 + πn.

Пример 4. Ctg 2x = 1,732.

Одговор: x = π / 12 + πn.

Сликата со наслов Решавање на тригонометриски равенки Чекор 3

3. Трансформација што се користи за решавање на тригонометриски равенки.

Да се трансформираат тригонометриски равенки, алгебарските трансформации се користат (распаѓање на мултипликатори, носејќи хомогени членови и т.Д.) и тригонометрија.

Пример 5. Користење на тригонометриски идентитети, гревот X + SIN 2X + SIN 3x = 0 равенка е претворена во 4cos x * равенка на грев (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Така, треба да се решат следните главни тригонометриски равенки: COS X = 0- SIN (3x / 2) = 0- cos (x / 2) = 0.

Сликата со наслов Решавање на тригонометриски равенки Чекор 4

Четири. Наоѓање на аголот на познати вредности на функции.

Пред да ги проучувате методите за решавање на тригонометриски равенки, треба да научите како да најдете агли според познатите вредности на функциите. Ова може да се направи со помош на конверзија или табела за калкулатор.

Пример: cos x = 0,732. Калкулаторот ќе го даде одговорот x = 42,95 степени. Еден круг ќе даде дополнителни агли чиј косинус е исто така еднаков на 0.732.

Сликата со наслов Решавање на тригонометриски равенки Чекор 5

Пет. Поставете ја одлуката за еден круг.

Можете да ја одложите цврстата конфигурациска равенка на еден круг. Решенија за тригонометриска равенка на еден круг се темиња на точниот полигон.

Пример: Решенија x = π / 3 + πn / 2an Еден круг се темиња на плоштад.

Пример: Решенија x = π / 4 + πn / 35 Еден круг е врвовите на точниот хексагон.

Сликата со наслов Решавање на тригонометриски равенки Чекор 6

6. Методи за решавање на тригонометриски равенки.

Ако оваа тригонометриска равенка содржи само една тригонометриска функција, ја реши оваа равенка како главна тригонометриска равенка. Ако оваа равенка вклучува две или повеќе тригонометриски функции, постојат 2 методи за решавање на таква равенка (во зависност од можноста за нејзина трансформација).

Метод 1.

Конвертирајте ја оваа равенка на равенката на формуларот: f (x) * g (x) * h (x) = 0, каде f (x), g (x), h (x) - главните тригонометриски равенки.

Пример 6. 2COS X + SIN 2X = 0.(0 < од>

Одлука. Користење на формулата за двојно агол грев 2x = 2 * SIN X * COS, заменете го гревот 2x.

2SS x + 2 * SIN X * COS X = 2COS X * (SIN X + 1) = 0. Сега одлучувајте ги двете главни тригонометриски равенки: cos x = 0 и (Sin x + 1) = 0.

Пример 7.Cos x + cos 2x + cos 3x = 0.(0 < од>

Решение: Користење на тригонометриски идентитети, конвертира равенка на равенката на формуларот: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Сега одлучувајте ги двете главни тригонометриски равенки: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.

Пример 8.Sin x - Sin 3x = cos 2x .(0 < од>

Решение: Користење на тригонометриски идентитети, конвертира равенка на равенката од тип: -COS 2x * (2sin x + 1) = 0. Сега одлучувајте ги двете главни тригонометриски равенки: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.

Метод 2.

Конвертирајте ја оваа тригонометриска равенка на равенката која содржи само една тригонометриска функција. Потоа заменете ја оваа тригонометриска функција на некои непознати, на пример, t (Sin x = t- cos x = t- cos 2x = t, tg x = t- tg (x / 2) = t и t.Д.).

Пример 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 < од>

Одлука. Во оваа равенка, замени (cos ^ 2 x) на (1 - Sin ^ 2 x) (според идентитетот). Трансформираната равенка е:

3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Заменете го гревот x на t. Сега равенката е: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ова е квадратна равенка со две корени: T1 = -1 и T2 = 9/5. Вториот root t2 не ги задоволува вредностите на вредностите на функцијата (-1 < грев>

Пример 10. TG X + 2 TG ^ 2 X = CTG X + 2

Одлука. Repancetg x на т. Преработете ја првичната равенка во следната форма: (2T + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Сега најдете t, а потоа пронајдете x за t = tg x.

Сликата со наслов Решавање на тригонометриски равенки Чекор 7

7. Специјални тригонометриски равенки.

Постојат неколку специјални тригонометриски равенки кои бараат специфични трансформации. Примери:

A * SIN X + B * COS X = C - A (SIN X + COS X) + B * COS X * SIN X = C;

A * SIN ^ 2 X + B * SIN X * COS X + C * COS ^ 2 x = 0

Сликата со наслов Решавање на тригонометриски равенки Чекор 8

осум. Периодичност на тригонометриски функции.

Како што беше споменато претходно, екстраригонометриските функции се периодични, односно нивните вредности се повторуваат по одреден период. Примери:

Периодот на функцијата f (x) = SIN X е 2π.

Функцијата Функција (x) = TG X е еднаква на π.

Функцијата на периодот f (x) = Sin 2x е еднаков на π.

Функцијата функции (x) = cos (x / 2) е 4π.

Ако периодот е наведен во задачата, пресметајте ја вредноста "x" во овој период.

Забелешка: Тригонометриско раствор за капитал - тешка задача која често води до грешки. Затоа, внимателно проверете ги одговорите. За да го направите ова, можете да користите графички калкулатор за изградба на графикон на оваа равенка r (x) = 0. Во такви случаи, решенијата ќе бидат претставени во форма на децимални фракции (односно, π се заменува со 3.14).